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title: "Localización plana con orloca"
author: "Manuel Munoz-Marquez"
date: "`r Sys.Date()`"
output: rmarkdown::html_vignette
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  %\VignetteIndexEntry{Localización plana con orloca}
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```{r setup, include = FALSE}
knitr::opts_chunk$set(
  collapse = TRUE,
  comment = "#>",
  fig.width = 6,
  fig.height = 4
)
library('orloca')
```

# Introducción

En un problema de localización se busca encontrar la ubicación óptima de un servicio, o un conjunto de ellos, de forma que la calidad que dicho servicio presta a un conjunto de puntos de demanda sea, según cierta medida, óptima. 
Algunos ejemplos de problemas de localización son:

* Encontrar la ubicación óptima del almacen central de una red de distribución de mercancías para que se minimice el costo total de transporte
* Encontrar la ubicación óptima de una ambulancia que debe atender a los pacientes de cierta región para que se minimice el tiempo en atender al paciente más lejano

Son numerosos los contextos en los que se plantean problemas de localización, debido a ello la teoría de localización ha sido objeto de gran atención en los últimos años, pudiendo decirse que es un tema de gran 
actualidad y vigencia. 
A ello contribuye la aparición de facetas del problema hasta ahora no 
estudiadas. 
Por ejemplo, junto a los ya clásicos criterios de minimización de costos, aparecen nuevos criterios: ambientales, sociales, calidad de vida, etc. 
Estas nuevas vertientes del problema hacen que sea un campo abierto de estudio. 

El paquete que se presenta está dedicado a la resolución del problema de localizar un único punto en el plano usando como objetivo la minimización de la suma de las distancias ponderadas a los puntos de demanda. 
Nuevas versiones del paquete incluirán nuevos modelos de localización.

# La clase de objetos loca.p

En un problema de localización plana el conjunto de puntos de demanda viene dado por las coordenadas de dichos puntos. 
Opcionalmente, se puede asignar a dichos puntos una ponderación, que da mayor importancia a unos puntos que a otros, dado que el objetivo que se considera es minimizar la suma ponderada de las distancias entre el punto de servicio y dicho conjunto demandante. 
Por ejemplo, si se busca la localización de un hospital comarcal, los puntos de demanda pueden ser las localidades a las que el hospital debe atender y las ponderaciones la población de cada localidad.

Para la resolución de estos problemas se ha definido una clase de objetos designada `loca.p`, de forma que un objeto `loca.p` almacena las coordenadas de los puntos de demanda y las ponderaciones de cada uno de los puntos. 
Cada objeto `loca.p` tiene tres slots, `x` e `y` que almacenan las coordenadas y `w` que almacena las ponderaciones. 
Cuando las ponderaciones no se den de forma explícita, se considerará que todos los puntos de demanda tienen igual importancia. 

En el resto de esta sección se expondrá la forma de hacer las operaciones básicas con objetos loca.p.

## Creación de objetos de clase loca.p

Consideremos un problema de localización en el que el conjunto de puntos de demanda es $(0,0)$, $(4,0)$ y $(2,2)$. 
Para crear un objeto `loca.p` que represente a dicho conjunto, se puede hacer llamando a la función constructora usando como argumentos el vector con las coordenadas $x$ y el vector con las coordenadas $y$ del conjunto de puntos:
```{r}
loca.p(c(0, 4, 2), c(0, 0, 2))
```
o alternativamente:
```{r  results = 'hide'}
loca.p(x = c(0, 4, 2), y = c(0, 0, 2))
```

El constructor tiene dos argumentos opcionales más, el tercero `w` se usa para especificar un vector de pesos y el cuarto para especificar una etiqueta que se usará para identificar el objeto. 
Si, usando el mismo conjunto de puntos, se quiere asignar los pesos 1, 1, 3, a dichos puntos y la etiqueta "Problema 1", se usa:
```{r include=TRUE}
loca.p(x = c(0, 4, 2), y = c(0, 0, 2), w = c(1, 1, 3), label = "Problema 1")
```

Un objeto `loca.p` también se puede obtener convirtiendo un objeto `data.frame` que tenga las columnas `x` e `y`, y opcionalmente `w`. 
Partiendo del `data.frame`
```{r include = FALSE}
d <- data.frame(x = c(0, 10, 2), y = c(0, 0, 8), w = c(1, 3, 1))
```
```{r}
d
```
se puede construir un objeto `loca.p` llamando a la función `as`:
```{r}
as(d, "loca.p")
```
o alternativamente:
```{r results='hide'}
as.loca.p(d)
```

Recíprocamente, un objeto `loca.p` se puede convertir en un objeto `data.frame` mediante:
```{r}
p1 <- loca.p(x = c(0, 4, 2), y = c(0, 0, 2), w = c(1, 1, 3), label = "Problema 1")
as(p1, 'data.frame')
```
o alternativamente
```{r results='hide'}
as.data.frame(p1)
```

En las conversiones, el slot `label` del objeto `loca.p` se almacena como un atributo del objeto `data.frame`. 
La etiqueta se puede leer y modificar:
```{r}
p1@label
dp1 <- as.data.frame(p1)
attr(dp1, "label")
```

Los objetos `loca.p` también pueden transformase en o construirse desde objetos de tipo `matrix`.

## Generación aleatoria de objetos de clase loca.p

Se pueden crear objetos aleatorios de clase `loca.p` usando la función `rloca.p`. 
El primer argumento, `n` indica el número de puntos a generar. 
Por defecto, dichos puntos se generan en el cuadrado unidad $[0,1] \times [0, 1]$. 
Así, para generar un objeto `loca.p` con 5 puntos en el cuadrado unidad, se usa:
```{r}
set.seed(161236)
rloca.p(5)
```
Los argumentos `xmin`, `xmax`, `ymin` e `ymax` permiten especificar el rectángulo en el que se generarán los puntos. 
Además, la función `rloca.p` permite especificar la etiqueta para el nuevo objeto. 
Por ejemplo, para generar los puntos en el rectángulo $[-1, 1] \times [-5,5]$ con etiqueta "Rectángulo" se usa:
```{r}
rloca.p(5, xmin = -1, xmax = 1, ymin = -5, ymax = 5, label = "Rectángulo")
```

Los puntos generados por la función `rloca.p` se pueden generar en grupos repartidos espacialmente. 
El argumento `groups` permite especificar el número de grupos mediante un número o el número de puntos en cada grupo a través de un vector. 
En este segundo caso, el valor dado al argumento `n` se ignora. 
Para generar aleatoriamente un conjunto de demanda con tres grupos de igual tamaño:
```{r}
rloca.p(9, groups = 3, label = "Tres tamaños iguales")
```
para tres grupos de tamaños desiguales:
```{r}
rloca.p(groups = c(2, 2, 5), label = "Tres tamaños desiguales")
```

Para generar los datos en grupos se genera en primer lugar un desplazamiento del centro de cada grupo y luego se generan los puntos sumando a cada punto el desplazamiento que corresponda a su grupo.
Por tal motivo, `groups = 1` no es equivalente a no especificar dicho parámetro. 
El desplazamiento de los centros se puede especificar mediante los argumentos `xgmin`, `xgmax`, `ygmin` e `ygmax`. 
Para ilustrar mejor el funcionamiento de la función se puede pintar el resultado:
```{r}
rl <- rloca.p(60, groups = 3, xmin = -1, xmax = 1, ymin = -1, ymax = 1, xgmin = -10, xgmax = 10, ygmin = -10, ygmax = 10, label = "Tres grupos")
plot(rl)
```

## Resumiendo los datos

Para obtener un resumen numérico de un objeto `loca.p` se puede usar la función `summary`:
```{r}
summary(rl)
```

En el resumen se muestran los valores mínimo, máximo y medio de ambas coordenadas, además de la medias ponderadas de las coordenadas de los puntos para cada componente.

# Distancia media ponderada

Dado un objeto `loca.p` se puede evaluar la distancia ponderada desde un punto dado. 
Así mismo, se puede evaluar el gradiente de dicha función y se puede resolver el problema de minimizar dicho objetivo.

## Evaluación

La función distancia media ponderada se denomina en el paquete `distsum`.
Dado un punto, por ejemplo: $(3, 1)$ se puede evaluar la distancia media ponderada a un objeto `loca.p`:
```{r}
pt3 <- loca.p(x = c(0, 4, 2), y = c(0, 0, 2), label = "Tres puntos")
distsum(o = pt3, x = 3, y = 1)
```
También se puede calcular el gradiente de `distsum` llamado `distsumgra`:
```{r}
distsumgra(o = pt3, x = 3, y = 1)
```

## Resolución

Para encontrar la solución óptima al problema de localización anterior se usa la función `distsummin`:
```{r}
s <- distsummin(pt3)
s
```
Evaluando la función y el gradiente en el punto obtenido
```{r}
distsum(o = pt3, x = s[1], y = s[2])
distsumgra(o = pt3, x = s[1], y = s[2])
```
Como se puede comprobar por el valor del gradiente, la solución encontrada es un óptimo local y al ser la función objetivo convexa un óptimo global.

Estas tres funciones admiten un argumento opcional `lp`, si se omite este argumento, se utiliza la norma euclídea, es decir, la norma $l_2$, si se especifica un valor para `lp` se utilizará la norma $l_p$ para dicho valor de $p$.

Obsérvese que si se especifica `lp = 2` se utiliza el algoritmo genérico para la norma `l_p` con $p$ igual a 2. 
La utilización del algoritmo genérico requiere un mayor esfuerzo computacional para la resolución del problema, por lo que no es recomendable especificar dicho argumento para usar la norma euclídea.

# Dibujando

Tanto los objetos `loca.p` como la función objetivo pueden representarse en un gráfico. 
Para la función objetivo se proporciona una representación basada en curvas de nivel y otra en un gráfico 3D.

## Dibujar un objeto `loca.p`

La gráfica de un objeto `loca.p` consiste en representar en el plano el diagrama de dispersión del conjunto de puntos de demanda usando la función plot:
```{r}
plot(pt3)
```

## Gráfico de curvas de nivel

El gráfico de curvas de nivel se realiza con la función `contour`:
```{r}
contour(pt3)
```

En el gráfico se puede observar cómo la función alcanza el mínimo en el punto calculado anterioremente. 
Ampliando:
```{r}
contour(pt3, xlim = c(1.9, 2.1), ylim = c(1, 1.2), levels = c(5.465, 5.47, 5.475))
```

Las funciones `plot` y `contour` admiten un argumento opcional `img` que permite especificar un gráfico raster que se usará como fondo del gráfico.

## Gráfico en 3D

Análogamente se puede realizar una representación en tres dimensiones usando la función `persp`:
```{r}
persp(pt3)
persp(pt3, col = "lightblue", theta = 45, ltheta = 120, shade = 0.75, ticktype = "detailed")
```

Las tres funciones de representación pasarán los restantes argumentos opcionales a la función genérica plot.

## Ejemplo de localización en Andalucía

Se cargan los datos de las capitales andaluzas y se convierte en un objeto de clase `loca.p`:
```{r}
data(andalusia)
o <- loca.p(x=andalusia$x[1:8], y=andalusia$y[1:8])
```

Se calculan los valores límite para el gráfico:
```{r}
xmin <- min(andalusia$x)
ymin <- min(andalusia$y)
xmax <- max(andalusia$x)
ymax <- max(andalusia$y)
```

Se carga el mapa de Andalucía y se representan los puntos con el mapa de fondo
```{r}
file = system.file('img', 'andalusian_provinces.png', package='orloca')
img = readPNG(file)
plot(o, img=img, main='Andalucía', xleft=xmin, ybottom=ymin, xright=xmax, ytop=ymax)
```

El gráfico de curvas de nivel es:
```{r}
contour(o, img=img, main='Andalucía', xleft=xmin, ybottom=ymin, xright=xmax, ytop=ymax)
```

La solución óptima del problema de localización con las 8 capitales, ocho primeras filas, se obtiene:
```{r}
andalusia.loca.p <- loca.p(andalusia$x[1:8], andalusia$y[1:8])
sol <- distsummin(andalusia.loca.p)
sol
```

La solución óptima que proporciona el algoritmo está localizada a unos 35 Km al norte de Antequera. 
Recuérdese que usualmente se considera a Antequera como el centro geográfico de Andalucía. 
El gráfico presenta la solución como un punto de color rojo:
```{r}
contour(o, img=img, main='Andalucía', xleft=xmin, ybottom=ymin, xright=xmax, ytop=ymax)
points(sol[1], sol[2], type='p', col='red')
```

Por simplicidad en el ejemplo, no se ha tenido en cuenta la curvatura terrestre.